Модель дуополии Курно

Месяц Вып. фирмы А Вып. фирмы В

1 1/2Qc 1/2(1/2Qc)=1/4Qc

2 1/2(Qc-1/4Qc)=3/8Qc 1/2(Qc-3/8Qc)=5/16Qc

3 1/2(Qc-5/10Qc)=11/32Qc 1/2(Qc-11/32Qc)=21/64Qc

4 1/2(Qc-21/64Qc)=43/128Qc 1/2(Qc-43/128Qc)=85/256Qc

Конечное равновесие

Qa=(1-(1/2Qc+1/8Qc+1/32Qc+ .))Qc=(1-1/2(1-1/4))Qc=1/3Qc

Qb=(1/4+1/16+1/64+ .)Qc=(1/4(1-1/4))Qc=1/3Qc

Общий выпуск =2/3Qc

Теперь очередь фирмы В отвечать снова. Фирма А снизит свое производство С 1/2 Qc до 3/8Qc - это приводит к снижению общего предложения товара Х с 3/4Qc до 5/8Qc. В результате этого цена товара вырастает до Р2. Фирма В предполагает, что фирма А будет продолжать выпускать это количество. Она рассматривает свою кривую спроса как линию, начинающуюся в точке, где рыночный выпуск равен 3/8Qc.Эта кривая спросаDb2, указанная на гр.D, рис.10. Максимальная прибыль существует в той точке, где MRb2=MC. Это равняется половине разности между конкурентным выпуском и величиной в 3/8 конкурентного выпуска, которую в настоящее время поставляет фирма А. Как показано в таблице 2, фирма В теперь производит 5/16 конкурентного выпуска. Общий рыночный выпуск равен теперь 11/16Qc, а цена снижается до Р3. За каждый месяц каждый дуополист производит половину разности между конкурентным выпуском и выпуском, осуществляемым конкурентной фирмой.

Как показано на гр. Е, рис.10, каждая фирма выпускает 1/3 Qc, а цена равна Ре. Это равновесие Курно для дуополии. Оно существовало бы. если только каждая фирма упорно полагала бы, что другая не будет регулировать свой выпуск, что подразумевает, что управление фирмы не учитывает своих ошибок, что, конечно, является большим упрощением. Но при более сложных допущениях становится сложно определить условия равновесия.

Пример

Z

.

Отраслевой спрос на продукцию характе­ризуется функцией Р = 100 - 0.5Q; в отрасли работают две максимизирующие прибыль фирмы А и В со следующими функциями затрат: ТСа = 20 + 0.75qa^2 и ТСь = 30 + 0.5qb^2.

Выведем уравнение реакции для фирмы А. Так как MRa = 100 - qa - 0.5qь и MCa = 1.5qa, то pa = max при 100 - qa - 0.5qb = 1.5 qa Þ qa = 40 - 0.2qb.

Аналогичные расчеты для фирмы В дают ее уравнение реакции: qb = 50 - 0.25qa.

Равновесные значения цены и объемов предложения определяются из следующей системы уравнений:

P = 100 - 0.5 (qa + qb),

qa = 40 - 0.2 qb, Þ qA* = 31.6, qb* = 42.1, P* = 63.2.

qb = 50 - 0.25qa.

В состоянии равновесия прибыли фирм соответственно равны: pa = 63.2 • 31.6 - 20 - 0.75 * 31.6^2 == 1228.2, pь = 63.2*42.1 - 30 - 0.5*42.1^2 = 1744.5.

Чтобы проследить за процессом установления равновес­ной цены в модели дуополии Курно, допустим, что сна­чала в отрасли работала только фирма А. Она установила монопольную цену Рм = 80 и выпускает qm = 40. Для фирмы В, решившей в та­кой ситуации войти в отрасль, функция спроса имеет вид Р = 100 - 0.5(40 + qb), а ее предельный доход определя­ется по формуле MRb = 80- qb. Прибыль фирмы В бу­дет максимальной, если 80 - qь = qb, т. е. при выпуске 40 ед. продукции. Такой же результат получается из уравнения реакции фирмы В. Вследствие этого рыночная цена снизится до 60 ден. ед. При такой цене объем пред­ложения фирмы А уже не обеспечивает ей максимальную прибыль, и она изменит объем выпуска в соответствии со своим уравнением реакции исходя из того, что фирма В выпускает 40 ед. продукции: q’a = 40 - 0.2*40 = 32. В результате цена возрастет до 64. Ответный ход фирмы В выразится в том, что она в соответствии со своим уравне­нием реакции предложит на рынок q’b = 50 - 0.25 • 32 = 42, сбивая тем самым цену до 63. После того как фирма А в очередной раз скорректирует свой выпуск,

qa’' = 40 - 0.2 * 42 = 31.6, в отрасли установится равновесная це­на 63.2.

Обобщение модели Курно. Используя предпосылки мо­дели дуополии Курно, можно построить модель ценообра­зования при любом числе конкурентов. Примем в целях упрощения, что у всех конкурентов одинаковые экономи­ческие затраты на единицу продукции: ACi = 1 = const; i = 1, , n. Тогда прибыль i-той фирмы равна pi, = Pqi, - lqi; так как Р = g - h å qi , то прибыль i-той фирмы можно представить в виде

pi = [g - h(q1 + q2 + . + qn)] qi - lqi = gqi - hqiq1 - hqiq2 - . - hqi^2 - . - hqiqn - lqi.